定义: 设 $\{G_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\}$ 是一族群, 规定它们的自由乘积 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 是一个群. 作为集合有:

\[
*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}=\{x_1 x_2\cdots x_n\mid n\geqslant 0, x_i\ \text{是某个}\ G_{\lambda}\ \text{中的非单位元,}\ \text{若}\ i\neq j, \text{则}\ x_i\ \text{与}\ x_{j}\ \text{不在同一个}\ G_{\lambda}\ \text{中}\}
\]

其中 $n=0$ 的元素只有一个, 记为 1. 群中的乘法规定如下:

设 $x_1 x_2\cdots x_n$ 和 $y_1 y_2\cdots y_m$ 是两个元素, 若 $1\leqslant\ell < \min(m,n)$ 时, $x_{n-i+1}$ 和 $y_i$ 属于同一个群 $G_{\lambda}$, 且 $x_{n-i+1}\cdot y_i=1$, 而 $x_{n-\ell}$ 和 $y_{\ell+1}$ 不再有此性质, 则它们的乘积为:

\[
(x_1 x_2\cdots x_n)\cdot(y_1 y_2\cdots y_m)=
\begin{cases}
x_1\cdots (x_{n-\ell}y_{\ell+1})\cdots y_m, & \text{若}\ x_{n-\ell}, y_{\ell+1}\ \text{同属于某个群}\ G_{\lambda}\ \text{中},\\
x_1\cdots x_{n-\ell}y_{\ell+1}\cdots y_m, & \text{否则}.
\end{cases}
\]

尝试用例子验证一下乘法的结合律是满足的. 例如:

三个元素 $r=x_5 x_4 x_3 x_2 x_1$, $s=x_1^{-1} x_2^{-1} x_3^{-1} x_4^{-1} x_6^{-1} x_7^{-1}$, $t=x_7 x_6 x_4 x_3 x_8$.

则容易验证有 $(rs)t=r(st)=x_5 x_4 x_3 x_8$.

每个 $s\in *_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 都能找到唯一的逆元. 单位元即 $x_0=1$. 因此 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 的确构成一个群.

显然, 按照群 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 的上述定义, 每个 $G_{\lambda}$ 是它的一个子群.

Prop. 设 $H$ 是一群, $\forall\ \lambda\in\Lambda$, 有同态 $f_{\lambda}:\ G_{\lambda}\rightarrow H$, 则存在唯一同态 $f:\ *_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\rightarrow H$, 使得 $f\bigr|_{G_{\lambda}}=f_{\lambda}$, $\forall\ \lambda\in\Lambda$.